প্রশ্নঃ
abc0ac একটি ছয় অঙ্কের পূর্ণবর্গ সংখ্যা, যা ৫ ও ১১ দ্বারা বিভাজ্য। সংখ্যাটির সম্ভাব্য সকল মানের যোগফল কত?
সমাধানঃ
যেহেতু সংখ্যাটি ৫ দ্বারা বিভাজ্য, সুতরাং সংখ্যাটির একক স্থানীয় অঙ্ক ০ নাহলে ৫ হবে।
যদি সংখ্যাটির একক স্থানীয় অঙ্ক তথা c=0 হয়, তাহলে তৃতীয় অঙ্কটিও 0 হবে। [যেহেতু তৃতীয় অঙ্কটিও c।] অর্থাৎ, অঙ্কটি হবে-
এখন, যেহেতু অঙ্কটি ১১ দিয়েও বিভাজ্য, সুতরাং সংখ্যাটির জোড় স্থানীয় ও বিজোড় স্থানীয় অঙ্কগুলোর সমষ্টির বিয়োগফল হয় ০ হবে, নাহয় ১১ দ্বারা বিভাজ্য হবে।
তাহলে, বিজোড় স্থানীয় অঙ্কগুলোর যোগফল
= a+0+a = 2a
আবার,
জোড় স্থানীয় অঙ্কগুলোর যোগফল
= b+0+0 = b
∴ বিয়োগফল=2a-b
সুতরাং, 2a-b এর মান হয় 0 হবে, নাহয় 11 দ্বারা বিভাজ্য হবে।
ধরি, 2a-b, 11 দ্বারা বিভাজ্য।
এখানে, a-এর মান 1-9 পর্যন্ত হতে পারবে।
তাহলে 2a-র মান হবে 2,4,6,…,18
যেহেতু 2a-b এর মান 11-এর গুণিতক হবে, সেহেতু 2a-এর মান অবশ্যই 11-র চেয়ে বড় হতে হবে। 2a-র মান যেহেতু সর্বোচ্চ 18 হতে পারবে, তাহলে 2a-b এর মান 11 বাদে 11-র অন্য কোনো গুণিতক (22, 33, 44,…) হতে পারবে না। সেক্ষেত্রে 2a-b এর মান শুধুমাত্র 11 হওয়া সম্ভব।
তাহলে 2a-র মান 11-র থেকে বড় হলে a-র সম্ভাব্য মান হবে 6, 7, 8, 9।
এখন,
a=6 হলে, 2a=12
∴ b=12-11
=1
তাহলে সংখ্যাটি হবে 610060
কিন্তু, সংখ্যাটিকে পূর্ণবর্গ হতে হবে।
∴ √610060 = 781.063377….
অর্থাৎ, এটি পূর্ণবর্গ নয়। তাই এটি গ্রহণযোগ্য নয়।
আবার, a=7 হলে, 2a=14
∴ b=14-11
=3
সুতরাং, সংখ্যাটি 730070
√730070 = 854.441338….
এটিও তাহলে গ্রহণযোগ্য নয়।
a=8 হলে, 2a=16
∴ b= 16-11
= 5
সুতরাং, সংখ্যাটি 850080
√850080 = 921.997830….
তাহলে, 850080 গ্রহণযোগ্য নয়।
a=9 হলে, 2a=18
∴ b= 18-11
=7
সুতরাং, সংখ্যাটি 970090
√970090 = 984.931469….
তাহলে, 970090-ও গ্রহণযোগ্য নয়।
যেহেতু 2a-b 11 দ্বারা বিভাজ্য নয়, তাহলে 2a-b=0 হতে পারে।
তাহলে, 2a-b=0
বা, 2a=b
∴ a=b⁄2
এক্ষেত্রে b-এর মান অবশ্যই জোড় সংখ্যা হতে হবে। নতুবা, a-এর মান ভগ্নাংশ আসবে।
b=2 হলে, a=2⁄2=1
তাহলে সংখ্যাটি 120010
√120010=346.424595….
∴ 120010 গ্রহণযোগ্য নয়।
b=4 হলে, a=4⁄2=2
তাহলে সংখ্যাটি 240020
√240020=489.918360….
∴ 240020 গ্রহণযোগ্য নয়।
b=6 হলে, a=6⁄2=3
তাহলে সংখ্যাটি 360030
√360030=600.024999….
∴ 360030 গ্রহণযোগ্য নয়।
b=8 হলে, a=8⁄2=4
তাহলে সংখ্যাটি 480040
√480040=692.849189….
∴ 480040 গ্রহণযোগ্য নয়।
সুতরাং, c=0 হওয়া সম্ভব নয়।
তাহলে, c=5 হলে, সংখ্যাটি হবে-
যেহেতু অঙ্কটি ১১ দিয়েও বিভাজ্য, সুতরাং সংখ্যাটির জোড় স্থানীয় ও বিজোড় স্থানীয় অঙ্কগুলোর সমষ্টির বিয়োগফল হয় ০ হবে, নাহয় ১১ দ্বারা বিভাজ্য হবে।
বিজোড় স্থানীয় অঙ্কগুলোর যোগফল
= a+5+a
= 2a+5
আবার, জোড় স্থানীয় অঙ্কগুলোর যোগফল
= b+0+5
= b+5
∴ বিয়োগফল=(2a+5) – (b+5)
=2a+5-b-5
=2a-b
ধরি,
2a-b এর মান 11 দ্বারা বিভাজ্য।
সেক্ষেত্রে, a এর সম্ভাব্য মান হবে 6, 7, 8, 9
এখন,
a=6 হলে, 2a=12
∴ b=12-11
=1
তাহলে সংখ্যাটি হবে 615065
∴ √615065 = 784.260798….
অর্থাৎ, এটি পূর্ণবর্গ নয়। তাই এটি গ্রহণযোগ্য নয়।
আবার, a=7 হলে, 2a=14
∴ b=14-11
=3
সুতরাং, সংখ্যাটি 735075
√735075 = 857.365149….
এটিও তাহলে গ্রহণযোগ্য নয়।
a=8 হলে, 2a=16
∴ b= 16-11
= 5
সুতরাং, সংখ্যাটি 855085
√855085 = 924=708062….
তাহলে, 855085 গ্রহণযোগ্য নয়।
a=9 হলে, 2a=18
∴ b= 18-11
=7
সুতরাং, সংখ্যাটি 975095
√975095 = 987.468986….
তাহলে, 975095-ও গ্রহণযোগ্য নয়।
যেহেতু 2a-b 11 দ্বারা বিভাজ্য নয়, তাহলে 2a-b=0 হতে পারে।
তাহলে, 2a-b=0
বা, 2a=b
∴ a=b⁄2
এক্ষেত্রে b-এর মান অবশ্যই জোড় সংখ্যা হতে হবে। নতুবা, a-এর মান ভগ্নাংশ আসবে।
b=2 হলে, a=2⁄2=1
তাহলে সংখ্যাটি 125015
√125015=353.574603….
∴ 125015 গ্রহণযোগ্য নয়।
b=4 হলে, a=4⁄2=2
তাহলে সংখ্যাটি 245025
√245025=495
∴ 245025 গ্রহণযোগ্য।
b=6 হলে, a=6⁄2=3
তাহলে সংখ্যাটি 365035
√365035=604.181264….
∴ 365035 গ্রহণযোগ্য নয়।
b=8 হলে, a=8⁄2=4
তাহলে সংখ্যাটি 485045
√485045=696.451721….
∴ 485045 গ্রহণযোগ্য নয়।
সুতরাং, abc0ac সংখ্যাটির কেবলমাত্র একটি মান পাওয়া সম্ভব, তা হচ্ছে 245025।
তাই abc0ac-এর সম্ভাব্য সকল মানের যোগফল 245025।
Ans: 245025.