শিক্ষাথী হলে অবস্যই দেখবেন [ক্যালকুলেটরে জটিল সংখ্যার ব্যবহার] না দেখলে পস্তাবেন।।।

আসসালামু আলাইকুম। কেমন আছেন? আশা করি ভালো আছেন!!!!

আজকে একটু গুরুত্বপূর্ণ বিষয় নিয়ে এসেছি…যেগুলি শিক্ষাথীদের প্রয়োজনে আসবে ।।।। বিশেষ করে বিজ্ঞানের শিক্ষাথীদের ।।।
So Let’s Start…
সায়েন্টিফিক ক্যালকুলেটর আছে সবার বাসাতেই। এই ক্যালকুলেটর এর সর্বোচ্চ ব্যবহার আমরা অনেকেই জানি না। ক্যালকুলেটর এর বক্সে বিভিন্ন ভাষায় ম্যানুয়াল থাকে, সবাই দেখেছি। কিন্তু এর পর এই ম্যানুয়ালের খোঁজ আমরা অনেকেই রাখি না। ম্যানুয়ালেই সব লেখা আছে। তারপরও সহজ ভাষায় আমি এর সবটুকু ব্যাখ্যা করার চেষ্টা করছি। ধারাবাহিক ভাবে পোস্ট আসতে থাকবে। আর নিজে নিজেও কিছু বের করে নিতে হবে। কৌতুহল ক্যালকুবিদ্যার একমাত্র রিকোয়ারমেন্ট। তাহলে শুরু করা যাক জটিল সংখ্যা দিয়ে।

একদম গোড়া থেকেই শুরু করি।

MODE: COMPLEX

The Story of i

i আনবো কীভাবেঃ

MS & ES: ENG চাপলেই হবে।

*** একটু মনোযোগ দিয়ে খেয়াল করো। ক্যালকুলেটরে মূলদ সংখ্যার পরে i দিবে এবং অমুলদ সংখ্যার আগে i দিবে। নয়তো Math ERROR… যেমনঃ 1 + √3i না লিখে 1 + i√3 লিখবে। একই ভাবে 1 + i2 না লিখে 1 + 2i লিখতে হবে।

কোণ ∠ চিহ্ন আনার তরিকাঃ

নিজে নিজে ট্রাই কর। খুঁজো কোথায় হলুদ কালিতে “∠” লেখা আছে। SHIFT চেপে Display তে নিয়া আস।

আর্গুমেন্ট বের করাঃ

সিম্পল জিনিস। arg (a + bi)

For MS: SHIFT > “(“ চাপলে arg আসে।

For ES: SHIFT > “2” চেপে 1 এ arg পাবে। ওইটা সিলেক্ট কর।

তারপর জাস্ট arg(1 + i) লিখে দেখ কী আসে?

NOTE: আর্গুমেন্ট ঋণাত্মক আসতেই পারে। তখন 360 থেকে বিয়োগ দিলেই হবে। যেমনঃ arg(1 – i) দিলে -45 আসবে। তখন 360 – 45 = 315 করে নিলেই হবে।

মডুলাস বের করাঃ

এটাও সহজ। Abs(a + bi) অথবা |a + bi|

For MS: SHIFT > “)” চাপলে Abs আসে। Abs(1 + i) লিখে দেখো √2 আসে কী না?

Foe ES: SHIFT > “hyp” চেপে | | আসবে। |1 + i| লিখে দেখো √2 আসে কীনা?

পোলার Form এ প্রকাশঃ

মানে হল a+bi থেকে r∠θ রূপে convert করা। মনে কর, (2+3i) কে পোলারে নিতে হবে।

For MS: Display তে (2+3i) লেখার পর SHIFT > “+” চেপে ►r∠θ নিয়ে এসে “=” চাপ। Display দেখাচ্ছে 3.605551275 ঠিক তো? এটা হল r মানে মডুলাস। SHIFT > “=” চাপলে দেখো বামে নিচের কোণায় ছোট্ট করে কোণ চিহ্ন (∠) দেয়া আর Display দেখাচ্ছে 56.30993247, এইটাই আর্গুমেন্ট মানে θ.

For ES: Display তে (2+3i) লেখার পর SHIFT > “2” > “3” চেপে ►r∠θ নিয়ে এসে “=” চাপ। Display দেখাচ্ছে √13 ∠ 56.30993247 এইটাই সরাসরি পোলার ফর্ম।

r∠θ থেকে a+bi রূপে convert করাঃ

যারা উপরের অংশটা (পোলার Form এ প্রকাশ) বুঝেছো, এবার তারা এটা নিজে চেষ্টা করো। সাড়ে চার মিনিট চেষ্টা করো।

পারলে তোমাকে অভিনন্দন। না পারলেও সমস্যা নাই। Better luck next time… Now follow me.

এখন মনে কর, 2∠60 কনভার্ট করতে হবে।

For MS: Display তে 2∠60 লেখার পর SHIFT > “—” চেপে ►a+bi নিয়ে এসে “=” চাপ। Display দেখাচ্ছে 1, ঠিক? এটা হল a মানে Real part বা বাস্তব অংশ। SHIFT > “=” চাপলে দেখো এবার ডানে নিচের কোণায় ছোট্ট করে i দেয়া আর Display দেখাচ্ছে 1.732050808, এইটাই Imaginary part মানে b.

For ES: Display তে 2∠60 লেখার পর SHIFT > “2” > “4” চেপে ►a+bi নিয়ে এসে “=” চাপ। Display দেখাচ্ছে 1+√3i তাইতো? এইটাই সরাসরি a+bi আকার।

***MSইয়ান গণ, এবার নিশ্চয় তোমারা বুঝে ফেলেছো যে, SHIFT আর “=” চেপে Real আর Imaginary part এর দেখা পাওয়া যায়। একই ভাবে মডুলাস আর আর্গুমেন্টেরও দেখা পাওয়া যায়।

***ESইয়ান গণ, কিছু বলার নাই। খালি জানিয়ে রাখি MS এরও দরকার আছে কিছু ইউনিক সময়ে, wait and see…

যোগ – বিয়োগ – গুণ – ভাগঃ

এইসব অপারেশন সোজাসাপ্টা বাংলা মেথড (!)।

পাওয়ার (পূর্ণ সংখ্যার):

এইখানে কিঞ্চিত ঝামেলা আছে। চাইলেই (2+i)4 লেখা যায় না।

For MS: MS এ জটিল সংখ্যার উপর পাওয়ার কাজ করে না (ট্রাই করে দেখতে পারো, Math ERROR আসবে)। তাই ভেঙে লিখতে হবে। মানে (a+bi)^2 এর বদলে (a+bi)(a+bi) লিখতে হবে।

For ES: ES এ জটিল সংখ্যার উপর স্কয়ার আর কিউব ছাড়া আর কিছু কাজ করে না। মানে ES এ (1+i)2 এবং (1+i)3 ঠিকই কাজ করবে। কিন্তু (1+i)4 বা (1+i)5 ইত্যাদি আর কাজ করবে না। সেইগুলা তাই ভেঙে ভেঙে গুণ দিয়ে লিখতে হবে।

জটিল সংখ্যার বর্গমূলঃ

নিশ্চিত ভাবে সবাই একবার না একবার হলেও এটা ট্রাই করেছে। কিন্তু লাভ হয় নাই। Math ERROR…

জেনে রাখা ভালো, ক্যালকুলেটরে জটিল সংখ্যার শুধু বর্গমূল না, কোনো মূলই করা যায় না।

কিন্তু একটা উপায় আছে! সেটাতে খুব সুন্দর একটা গণিত লুক্কায়িত আছে। রাখঢাক না করে শুরু করি…

জটিল সংখ্যার দারুণ একটা ধর্ম আছে। একটা জটিল সংখ্যাকে যদি বর্গ করা হয়, তবে তার মডুলাসও বর্গ হয় কিন্তু আর্গুমেন্ট দ্বিগুন হয়। বিশ্বাস না হলে লুৎফুজ্জামান স্যারের বইয়ের 3.2.3 নাম্বার উদাহরনে একবার চোখ বুলিয়ে নাও। একই ভাবে ঘন করা হলে মডুলাসও ঘন হয় কিন্তু আর্গুমেন্ট তিনগুন হয়। এই ধর্ম সকল বাস্তব ঘাতের জন্য সত্য।

এখন হচ্ছে আসল পার্ট, যদি ঘাত করে দেই 1/2 (মানে বর্গমূল) তাহলে কী হবে? পাক্কা দুই মিনিট চিন্তা কর।

আমিই বলি, মডুলাস বর্গমূল হয়ে যাবে আর আর্গুমেন্ট হবে অর্ধেক। এটাই ব্যবহার করবো। এখন কাজ হচ্ছে ক্যালকুলেটরকে এটা বুঝানো।

For MS: আমরা A তে জটিল সংখ্যাটা সেভ করে রাখবো। তাহলে এটার মডুলাস হবে Abs(A) আর আর্গুমেন্ট হবে arg(A). মডুলাসের বর্গমূল √(Abs(A)) আর আর্গুমেন্টের অর্ধেক (arg(A)/2). বুঝতেই পারছো, আমরা যে বর্গমূলটা বের করতে চাচ্ছি তার মডুলাস √(Abs(A)) এবং আর্গুমেন্ট (arg(A)/2). কিন্তু আমার Ans দরকার a+bi আকারে। বুঝে ফেলেছ নিশ্চয় কী করতে হবে এখন… পোলার থেকে a+bi তে নিতে হবে। একটা সুবিধা আছে। ক্যালকুলেটরে পোলার ফর্মটা লিখে ইকুয়্যাল চাপলেই a+bi আকার ধরিয়ে দিবে। ভালো জিনিস। ঝামেলা কমলো।

তাহলে একেবারে input display তে (মানে উপরের অংশটা আরকি) √(Abs(A))∠(arg(A)/2) লিখে CALC (উপরে বামে একদম) চাপলে দেখাবে “A?”… এই বেলা একটু অপেক্ষা করো, ESইয়ানদের একটু শিখিয়ে আসি।

For ES: আমরা A তে জটিল সংখ্যাটা সেভ করে রাখবো। তাহলে এটার মডুলাস হবে |A| আর আর্গুমেন্ট হবে arg(A). মডুলাসের বর্গমূল √|A| আর আর্গুমেন্টের অর্ধেক (arg(A)/2). বুঝতেই পারছো, আমরা যে বর্গমূলটা বের করতে চাচ্ছি তার মডুলাস √|A| এবং আর্গুমেন্ট (arg(A)/2). কিন্তু আমার Ans দরকার a+bi আকারে। বুঝে ফেলেছ নিশ্চয় কী করতে হবে এখন… পোলার থেকে a+bi তে নিতে হবে। একটা সুবিধা আছে। ক্যালকুলেটরে পোলার ফর্মটা লিখে ইকুয়্যাল চাপলেই a+bi আকার ধরিয়ে দিবে। ভালো জিনিস। ঝামেলা কমলো।

তাহলে একেবারে input display তে (মানে উপরের অংশটা আরকি)
\mathbf{\sqrt{\left | A \right |}\angle \frac{arg(A)}{2}}
লিখে ফেলো। একটু খেয়াল করে, root over চিহ্ন (√) টা যেন শুধু |A| এর উপর থাকে, ঠিক আছে? এর পর CALC (উপরে বামে একদম) চাপলে দেখাবে “A?“…

এখন সবাই খেয়াল করো, “A?” এর মানে ক্যালকুলেটর তার আরজি জানাচ্ছে, “হে বৎস, তুমি তো তোমাকে A এর একটা ফাংশন ধরিয়ে দিয়েছো। আমিতো A এর কোনো ভ্যালু ছাড়া আগাতে পারছি না। তুমি অতি শীঘ্র A এর একটা ভ্যালু দিয়ে আমাকে ধন্য করো।” এদিকে তুমি চুপচাপ যে জটিল সংখ্যার বর্গমুল করতে চাও সেটা লিখো (যেমনঃ -7+24i)। তারপর ইকুয়্যাল চাপো।

Voilà! এটাই বর্গমুল। একটু জটিল কিন্তু মজার। আর একটা কথা, সামনে প্লাস-মাইনাস নিজ দ্বায়িত্বে দিলে ভালো হয়!

এবার দুটো কাজ করো…

***বইয়ের সব গুলা ম্যাথ দেখোতো মিলে কীনা?

***আর চিন্তা করে বের করো তো -11 – 2i এর ঘনমূল কত হবে? ক্যালকুলেটর তোমার হাতেই আছে।

আজ এতোটুকুই। উপরের কোন কিছুতে ভূল বা কনফিউশন থাকলে কমেন্ট বক্স এই সেবায় নিয়োজিত আছে!