প্যাসকেল ত্রিভুজের Magic শিখে নিন। [পর্ব:০২]

আসসালামু আলাইকুম বন্ধুরা। আবারও আমি আপনাদের জন্য এক মজার Post নিয়ে হাজির হয়েছি। আমি এর আগে প্যাসকেল ত্রিভুজের সাহায্যে ফিবোনাক্কি ধারা নির্ণয়ের একটা Post করেছিলাম। আজ প্যাসকেল ত্রিভুজের অন্য আরেকটা Trick নিয়ে এলাম।

আগের Post: প্যাসকেল ত্রিভুজের Magic শিখে নিন। [পর্ব:০১]

এই Post টা আরও উপকারী ও মজার। আমরা তো সবাই কমবেশি (a+b)-এর উপর Power-এর অঙ্ক করেছি এবং কোনো কোনো সময় সূত্র মুখস্থ রাখতে রাখতে ভুলেও গেছি। কিন্তু আপনারা কি জানেন, প্যাসকেল ত্রিভুজ দিয়ে আপনি (a+b)-এর উপর 100000 Power থাকলেও সূত্র বের করতে পারবেন? অবাক লাগছে তো? চলুন শিখে নিই।

প্যাসকেল ত্রিভুজের ২য় Line থেকে (a+b)-এর Power-এর প্রতিনিধিত্ব শুরু হয়। দ্বিতীয় Line হচ্ছে (a+b) এর উপর 1 power এর জন্য। অর্থাৎ, যেটাকে (a+b) লেখা হয়। তৃতীয় Line (a+b) Whole Square-এর প্রতিনিধিত্ব করে। তারপরের Line Power 3 এর। এভাবে একে একে (a+b)-এর উপর Power বাড়তে থাকে। কিন্তু প্রশ্ন হলো আমরা এর থেকে সূত্র কীভাবে বের করবো?

এর জন্য আমাদেরকে প্রথমে বের করতে হবে (a+b) এর উপর কতো Power-এর সূত্র নিব-সেই ঘর। আপনাদেরকে আগেই বলেছি Line গুলো প্রত্যেকটা Power-এর জন্য সূত্রের প্রতিনিধিত্ব করে। এখন ধরুন, আমি (a+b) Whole Square-এর সূত্র চাই। তাহলে আমাকে প্যাসকেল ত্রিভুজ ধরে সেই ঘরে আগে যেতে হবে। ছবি থেকে দেখা যাচ্ছে যে এই ঘরটা হলো তৃতীয় ঘর।

এবার ঘরটার সংখ্যাগুলোর দিকে লক্ষ্য করুন। আপনারা কী সূত্রের সংখ্যাগুলোকে চিনতে পারছেন? এগুলো ওই পদগুলোর সহগ না? মানে a2+2ab+b2 এর a2, ab আর b2 এর? হ্যাঁ, ঠিকই ধরেছেন। কিন্তু আমরা শুধু 1,2 আর 1 দিয়ে কীভাবে এগুলো বের করতে পারি? এখানেই রয়েছে Trick।

এখানের প্রথম 1 আর শেষ 1 দ্বারা আপনাকে বুঝে নিতে হবে এগুলো হচ্ছে প্রথমে থাকা a আর শেষে থাকা b-এর সহগ।

সুতরাং, প্রথমে a লিখুন (সহগ হিসেবে 1 লিখার প্রয়োজন পড়ে না।)। এবার আপনাকে a এর উপর Power বসাতে হবে। সবসময় মনে রাখবেন,  (a+b) এর উপর যতো Power চাওয়া হবে, ততো Power-ই a-র উপর বসাতে হবে। ধরুন আমরা (a+b)2 এর সূত্র নিব। তাহলে আগে লিখে নিব a2।

a2

এটা আপনার প্রথম পদ। এবার একটা Plus চিহ্ন (+) দিন। এরপর আপনি প্যাসকেল ত্রিভুজে যে সংখ্যাটা 1 এর পর দেখতে পারছেন সেই সংখ্যাটা আগে লিখে দিন।

চিত্রে দেখুন, তৃতীয় লাইনে 1 এর পর 2 আছে। তাহলে আমরা লিখবো 2।

a2 + 2

এবার a এর Power একটা বিয়োগ হয়ে যাবে। অর্থাৎ, আগে Power ছিল 2, এবার হয়ে যাবে 1। মানে, আপনাকে a এর উপর Power 1 বসাতে হবে (যা লিখার দরকার হয় না)। একইভাবে আগে কোথাও কোনো b ছিল না। তাই এবার একটা b কে আমদানি করতে হবে। অর্থাৎ, লিখতে হবে-

a2 + 2ab

আবার প্যাসকেল ত্রিভুজের দিকে খেয়াল করুন। শেষে আছে 1। মানে শেষ পদের সহগ হবে 1। তাহলে আপনাকে প্রথমে 1 বসাতে হবে (1 সহগ হিসেবে না লিখলেও সমস্যা হয় না।)

তারপর  a-র পকেট থেকে আরো একটা Power কেটে নিতে হবে, মানে a-র Power হবে 0। অর্থাৎ, a হয়ে যাবে Vanish! অন্যদিকে b এর একটা Power বেড়ে যাবে। তাহলে শেষ পদে থাকবে শুধু b2।

a2 +2ab +b2

এটার পেছনে Logic টা খুব সহজ। প্যাসকেল ত্রিভুজ এক্ষেত্রে আমাদেরকে শুধু সূত্রের সহগ সংখ্যাগুলো জানতে সাহায্য করছে। সহগগুলো লিখে আমরা a এর Power-এর থেকে নিচের দিকে আর b এর Power থেকে উপরের দিকে উঠতে থাকি। প্রথম পদে b থাকে না, b-এর যাত্রা শুরু হয় দ্বিতীয় পদ থেকে। একইভাবে নিচে নামতে নামতে a এর যাত্রা শেষ পদের আগের পদে ক্ষান্ত হয়। আর শেষ পদে থাকে শুধু b তার উপর সর্বোচ্চ Power নিয়ে, ঠিক প্রথম পদের a-এর মতো।

আবার বোঝার চেষ্টা করুন। সহগ থাকবে সহগের জাগায়। আর প্রথম থেকে a একটা করে কমবে আর b একটা করে বাড়বে। শেষমেষ আপনি আপনার কাঙ্ক্ষিত সূত্র পেয়ে যাবেন। এবার বলুন তো, (a+b)6 -এর সূত্র কী? Comment-এ লিখে জানাবেন।

আপনারা নিচের ছবিগুলো লক্ষ্য করুন। তাহলে এই যুক্তি খুঁজে পাবেন এবং ভালোভাবে বুঝতে পারবেন।

ধন্যবাদ। অনেক কষ্ট করে লিখলাম। এর জন্য অন্তত একটা Like না দিয়ে যাবেন না। সবাই ভালো থাকবেন, সুস্থ থাকবেন আর অবশ্যই TrickBD-র সাথেই থাকবেন। আসসালামু আলাইকুম।