বিগত বছরের গণিত অলিম্পিয়াডে আসা কিছু প্রশ্নের সমাধান [পর্বঃ০৪]

এই প্রশ্নটা খুবই গুরত্বপূর্ণ। এটা গতবছরের জাতীয় পর্যায়ে এসেছিলো।

 

প্রশ্নঃ

কোনো এক গণিত উৎসবে 72টি মেডেল দেওয়া হয়েছিল। কিন্তু পরে হিসাব দেওয়ার সময় দেখা গেলো, সুমন রিসিটটি হারিয়ে ফেলেছে। তবে তার মনে আছে মেডেলগুলোর মোট দাম ছিল একটা 5 অঙ্কের সংখ্যা, এবং মাঝের তিনটি অঙ্কই ছিল 9। যদি সবগুলো মেডেলের দাম একই এবং পূর্ণসংখ্যা হয়ে থাকে, তাহলে প্রতিটা মেডেলের পেছনে কত খরচ হয়েছে?

সমাধানঃ

শর্তানুসারে, সংখ্যাটা ছিল 5 অঙ্কের যার মাঝের তিনটি অঙ্কই 9। অর্থাৎ, সংখ্যাটাকে নিচের ছবির মতো করে বিবেচনা করা যায়-

প্রত্যেকটা মেডেলের সংখ্যাই যেহেতু পূর্ণসংখ্যা হতে হবে, তাই অবশ্যই এই সংখ্যাটাকে 72 দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে।

আমরা সবাই জানি,

72=8×9

অর্থাৎ, সংখ্যাটাকে 8 এবং 9 উভয় দ্বারাই বিভাজ্য হতে হবে।

আগে 9-এর প্রসঙ্গে আসি। কোনো সংখ্যার অঙ্কোগুলোর যোগফল যদি 9 দ্বারা বিভাজ্য হয়, তাহলে সংখ্যাটা 9 দ্বারা বিভাজ্য হবে।

এখানে আমরা শুধুমাত্র তিনটা অঙ্ক জানি। কিন্তু এখান থেকেও একটা Logic বের করা সম্ভব! চলো দেখি।

9+9+9=27 এই সংখ্যাটাও 9 দিয়ে বিভাজ্য কিন্তু আরও দুইটি সংখ্যা এখনও বাকি আছে। অর্থাৎ, আরও দুইটি সংখ্যা বসাতে হবে যাতে করে মোট যোগফলও 9 দ্বারা ভাগ যায়।

9-এর প্রসঙ্গটা আপাতত স্থগিত করে রাখো, তবে যুক্তিটা মাথায় ধরে রাখো।

এবার এসো আরেকটা যুক্তিতে। সংখ্যাটাকে 72 দিয়ে ভাগ যেতে হবে। 72 সংখ্যাটার একক স্থানীয় অঙ্ক 2। অর্থাৎ আমরা যে সংখ্যাটা নির্ণয় করবো সেটার একক স্থানীয় অঙ্ক অবশ্যই জোড় সংখ্যা হবে মানে 0, 2, 4, 6, 8 [কোনো সংখ্যাকে 2 বা এমন কোনো সংখ্যা যার একক স্থানীয় অঙ্ক 2 দিয়ে নিঃশেষে বিভাজ্য হতে হলে তার একক স্থানীয় অঙ্ক জোড় হতে হয়।]

আবার আগের প্রসঙ্গে এসো। সংখ্যাটাকে 9 দিয়ে ভাগ যেতে হবে জন্য এটার অঙ্কগুলোর যোগফল হবে 27-এর থেকে বড় 9 দ্বারা বিভাজ্য সংখ্যা অর্থাৎ 36, 45, 54,….. ইত্যাদি

দ্বিতীয় শর্ত থেকে আমরা দেখতে পাই, সংখ্যাটার একক স্থানীয় অঙ্ক সর্বনিম্ন 0 হতে পারবে আর সর্বোচ্চ হতে পারবে 8। আমরা যদি এককের স্থানে সর্বোচ্চ অঙ্কটা মানে 8 বসাই, তাহলে চারটা অঙ্কের যোগফল পাই 27+8=35।

আমরা সংখ্যাটার সর্বপ্রথম অঙ্কের জন্য কোনো শর্ত আবিষ্কার করিনি। মানে এই অঙ্কটা 0-9 এর মধ্যে যেকোনো কিছুই হতে পারে। তো যদি প্রথম অঙ্কটা সর্বোচ্চ মানে 9 হতো, তাহলে মোট যোগফল হতো=35+9=44। কিন্তু 9 দ্বারা বিভাজ্য হতে হলে যোগফলকে তো 9 দ্বারা বিভাজ্য হতে হবে। 44, 9 দ্বারা বিভাজ্য নয়। তার মানে আমরা বলতে পারি সংখ্যাটার অঙ্কগুলোর যোগফল শুধু এবং শুধুমাত্র 36 হবে, যা 9 দ্বারা বিভাজ্য একমাত্র সংখ্যা যেটা 27-এর চেয়ে বড় কিন্তু 44-এর চেয়ে ছোট। [যোগফল কিন্তু 44, 45 হলে সেক্ষেত্রে আমরা বলতে পারতাম যোগফল হয় 36 হবে, নাহয় 45 হবে-কারণ 45, 9 দ্বারা ভাগ যায়। যাই হোক, সে ঝামেলা নেই। এটা শুধু তোমাদের ভালোভাবে বোঝার জন্য দেওয়া।]

<<< BREAK !!!>>>

একটু থামো। উপরের অংশটা আরেকবার ভালো করে পড়ে বুঝো। তাড়াহুড়োর দরকার নেই।

তাহলে 9-এর ঝামেলাটা গেলো, কিন্তু 8-এর টা এখনো বাকি!

তোমরা হয়তো জানো যে 8 দ্বারা বিভাজ্যতার দুইটি শর্ত রয়েছে। তার একটি হচ্ছে কোনো সংখ্যার শেষের দুইটি অঙ্ক অর্থাৎ একক ও দশক স্থানীয় অঙ্ক নিয়ে যে সংখ্যা গঠিত হয় সেটা যদি 4 দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হয়, কিন্তু 8 দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য না হয় আর এর আগের অঙ্কটা অর্থাৎ শতক স্থানীয় অঙ্ক যদি বিজোড় হয়, তাহলে সংখ্যাটা 8 দ্বারা বিভাজ্য হবে। অন্য শর্তটা এখানে প্রযোজ্য হবে না। তাই বললাম না। তবে জানার ইচ্ছা হলে কমেন্ট করে বলতে পারো।

আমাদের সংখ্যাটার শতক স্থানীয় অঙ্ক (9) বিজোড় হয়েই আছে। মানে একটা ক্লু আমরা আগে থেকেই পেয়ে আছি। এবার শুধু অন্য ক্লু-টার পালা।

চলো এবার একক স্থানীয় অঙ্কে 0, 2, 4, 6, 8 বসিয়ে পরীক্ষা করে দেখি:

একক স্থানীয় অঙ্ক 0 হলে,

শেষের দুইটি অঙ্ক নিয়ে তৈরি সংখ্যাটা হবে-

90

সংখ্যাটা যেনো 4 দিয়ে ভাগ যায়, কিন্তু 8 দিয়ে না যায়-এমন হতে হবে।

আমরা আমাদের পদ্ধতিকে আরেকটু Short করব। এটাতে তোমাদেরই সুবিধা হবে। আগে আমরা দেখব 4 দিয়ে যায় কিনা। যদি 4 দিয়ে নিঃশেষে ভাগ না যায় তাহলে তো 8-এর পরীক্ষার কোনো দরকারই নেই! এবার দেখা যাক।

90÷4=22.5     ❌

তার মানে একক স্থানীয় অঙ্কটা 0 হতেই পারে না। এবার 2 দিয়ে দেখি….

92÷4=23       ✔️

এটা সম্ভব তার মানে আমরা এটাকে এখন হতে ধরে রাখবো। পরের গুলো দেখি…

94÷4=23.5     ❌

96÷4=24       ✔️

98÷4=24.5     ❌

যাচাই-বাছাই করে আমরা দেখতে পাই, একক স্থানে হয় 2 বসবে নাহয় 6 বসবে। কিন্তু আসলে ঠিক কোনটা বসবে? এটা বোঝার জন্য এবার আমরা 92 আর 96-কে 8 দিয়ে ভাগ দিবো। যেই সংখ্যাটা নিঃশেষে ভাগ যাবে না সেটারই একক স্থানীয় অঙ্ক হবে আমাদের কাঙ্খিত অঙ্ক।

তাহলে,

92÷8=11.5    ✔️

96÷8=12       ❌

আমরা পেয়ে গেছি! 92, 8 দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য নয়। তার মানে 2 হচ্ছে আমাদের সেই একক স্থানীয় অঙ্ক। অর্থাৎ, এবার সংখ্যাটা হচ্ছে:

_9992

ব্যাস, কাজ বলতে গেলে একেবারেই শেষ। তোমদের হয়তো মনে আছে, আমি আগেই প্রমাণ করেছিলাম যে সংখ্যাটার অঙ্কগুলোর যোগফল শুধুমাত্র 36 হবে। তো তাহলে এখানে চারটা সংখ্যা আমরা পেয়ে গেছি যাদের যোগফল=9+9+9+2=29।

তাহলে প্রথম সংখ্যাটা হবে= (36-29) =7।

তার মানে সংখ্যাটা হচ্ছে-

79992

অর্থাৎ, 72টি মেডেলের মোট দাম=79992 টাকা

1টি মেডেলের দাম=79992÷72 টাকা =1111 টাকা

Ans: 1111 টাকা

যাই হোক, আগামীকাল  বাছাই পরীক্ষা। তোমাদের যেকোনো সমস্যা থাকলে আমাকে জানাতে পারো, এমনকি কোনো Math Olympiad-এর প্রশ্নের উত্তরও জিজ্ঞেস করতে পারো। সবাই ভালো করে প্রস্তুতি নাও, ভালো থাকো। আল্লাহ হাফেজ।